slowling@yeah 的博客

Philosophy of Mathematics数学哲学

许多哲学家已成为数学知识范式，并在下面的数学证明所采用的理由通常是作为理性思维的缩影。

但数学也是有在认识论和形而上学中心以来，西方哲学的开端哲学问题的丰富来源，其中最重要的如下：

1. 做数学号码和其他实体的独立存在，人的认识？
2. 如果不是那么我们如何解释特别适用于数学科学和实际事务？ 如果是这样那么东西的是，怎样才能知道呢？
3. 什么是数学与逻辑之间的关系？
4. 第一个问题是一个约其他实体，如普遍性，属性和价值观念的存在密切的亲缘关系问题的形而上学的问题
5. .据许多哲学家，这些实体的存在，如果他们这样做，那么外部的空间和时间，而且也缺乏因果关系的权力，他们往往被称为抽象的（而不是具体的）实体。
6.  .如果我们接受抽象的数学对象的存在，然后适当的数学认识论必须说明我们如何才能知道这些。
7.  当然，证明似乎是我们为数学命题的证明，但依靠公理，所以我们如何才能知道真相的公理问题仍然存在理由的主要来源。

它通常认为，数学真理是必要的真理，又如何有可能是有限的，人类居住的物理世界的队伍有这样的真理的知识？

.两个广泛的意见可能：要么数学真理是已知的原因，或者他们从感官体验推理众所周知的。 前者理性主义的观点是通过笛卡尔和莱布尼茨谁也认为数学概念是天生的。洛克和休谟认为，数学真理是已知的原因，但他们认为所有的数学概念，从抽象的经验所得。

厂是一个完整的经验主义对数学都举行的数学概念，从经验中得出的经验，还从数学真理像2 +2 = 4是真正归纳概括。在数学（注：康德的看法是复杂和重要的，见康德。）

在19世纪中叶的非欧几里得几何意味着哲学家被迫重新评估欧几里德几何了曾被作为世界上某些知识灿烂如发现视为地位。

不少人都采取了一贯存在非欧几里德几何是直接反驳都穆勒和数学康德的哲学。

到了19世纪康托尔发现在不同的阶级理论悖论，而且是在数学基础的东西危机结束。

20世纪初看到了数学的伟大进步，并在数理逻辑和数学基础。

在数学哲学的基本问题，大部分是提供给任何与谁是几何学和算术熟悉，谁有下列数学证明的经验。

 然而，二十世纪最重要的哲学发展的一些煽动的是，已经在数学和逻辑发生了深刻的发展，对这些问题的适当升值，仅适用于人谁拥有了一套基本理论和理解达到中等水平逻辑。

要学习先进水平的一个数学哲学应该遵循真的有一门课程，其中包括了哥德尔不完备性定理证明。

柏拉图主义

现实主义对数学，即认为对数学定理，抽象的实体真命题，通常被称为柏拉图主义，因为它是柏拉图谁首先提出了一个抽象的，不变的形式存在，其中领域的数量和其他数学对象驻留。

• 最知名的现代柏拉图主义是哥德尔：
• 光哥德尔，'什么是康托尔的连续问题？' in P.Benacerraf and .在体育贝纳塞拉夫和普特南（编辑），在数学哲学读。

体育曼迪，数学现实主义。  

柏拉图主义的一个最新版本是新弗雷格形式倡导克里斯赖特主要是：

• .赖特，弗雷格为对象的数字概念。
• H.Field, 'Platonism for Cheap?'每小时场，'柏拉图主义便宜？' in his Realism, Mathematics and Modality.在他的现实主义，数学和方式。

Nominalism唯

7-------有一个传统的哲学称为唯名，即拒绝一切抽象实体的存在.唯名也许面临的最大的成功应用数学会计困难。其中唯形式是形式主义这是理论，数学，只不过是操纵的符号按一定的规则。这个新版本首次propounded由20世纪初伟大的数学家希尔伯特。 形式主义避免了柏拉图主义面临的许多问题，但留给了为什么有人会这样做数学或觉得有用的问题给我们。

 希尔伯特方案摧残哥德尔不完备定理，而是这个问题的答案，最近有Hartry场提出。   

• D.Hilbert, 'The Foundations of Mathematics' in van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel. D.希尔伯特，'的基础数学'的车Heijenoort（编），从弗雷格的哥德尔。
• J.Burgess and G.Rosen, A Subject with No Object.广告兴趣日渐和G.罗森，一个没有客体。
• .每小时场，没有数字科学，求实，数学和方式。
• S.Shapiro, 'Conservativeness and Incompleteness' in WDHart (ed.), The Philosophy of Mathematics.美国夏皮罗，'保守性和不完备性'在WDHart（编），数学哲学。
• D.Papineau, Philosophical Naturalism, chapter 5. D.帕皮诺，自然主义哲学，第5章。

Intuitionism and constructivism直觉主义和建构主义

1---------.直觉主义，是由布劳威尔数学作为一无基础的哲学。 而康德排序，地面的时间和几何空间所得的经验算术，布劳威尔试图为所有帐户的数学在直觉（意识经验时间）计算。直觉发生冲突，只要布劳威尔认为，有经验之外没有真理，因此，该排中律不能适用于所有（在数学部分，特别是infinitary数学命题是对一些性质不确定的古典数学）。

继任者的直觉，即建构，已经放弃了康德的形而上学，认识论，但仍坚持认为，一些数学命题，即那些没有证据表明这已经建成，没有真理价值。

• M.Dummett, Elements of Intuitionism, Truth and Other Enigmas, The Seas of Language.米达米特，直觉主义，真理和其他谜，语言的海洋元素。
• C.Chihara, Constructibility and Mathematical Existence, Ontology and the Vicious Circle Principle.长茅原，Constructibility和数学存在，本体论和恶性循环的原则。

Logicism逻辑主义

现代分析传统开始于弗雷格和罗素工作（等等）两种，其中数学是一个中心问题。.如上所述，数学命题，如果是这样的事，是真正的必然。 .逻辑的原则也通常被认为是必要的真理，也许然后数学真理其实只是复杂的逻辑真理。

逻辑主义是给予研究方案弗雷格开始的名义，罗素和怀特海发展其目的是为了显示数学是如何还原为逻辑。弗雷格试图提供一个健全的逻辑基础数学;不幸的罗素发现弗雷格的制度不一致。 罗素的类型论著名的工作是为了避免矛盾困扰弗雷格的逻辑主义版本。  

• W.Demopoulos (ed.), Frege's Philosophy of Mathematics.布什福瑞（编），弗雷格的数学哲学。
• M.Resnik, Frege and the Philosophy of Mathematics.米雷斯尼克，弗雷格和数学哲学。
• M.Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics.米达米特，弗雷格：数学哲学。
• B. Russell, 'Mathematical Logic as Based on the Theory of Types' in van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel.二罗素，'数理逻辑的基础上，理论类型'的车Heijenoort（编），从弗雷格的哥德尔。
• K.Gödel, 'Russell's Mathematical Logic' in P.Benecerraf and H.Putnam (eds), Readings in the Philosophy of Mathematics.光哥德尔，'罗素的数理逻辑'在体育Benecerraf和普特南（编辑），在数学哲学读。

2----------------Set Theory集理论

集理论发展于19世纪后期和20年代中期达到了与梅洛，弗伦克尔，斯科伦，哪些是现在已知的采埃孚集理论的公理化其他发达国家制定成熟。

• M.Machover, Set theory, logic and their limitations.米马赫奥弗尔，集理论，逻辑和其局限性。
• AAFraenkel, Abstract Set Theory. AAFraenkel，摘要集理论。

'构想的迭代的一套'的体育贝纳塞拉夫和普特南（编辑），在数学哲学读。

• D.Lewis, Parts of Classes.刘易斯，类零部件。
• J.Bigelow, 'Sets are Universals' in H.Irvine (ed.), Physicalism in Mathematics. J.比奇洛，'设置的共性'欧文在H（编），数学物理主义。  

3------------Mathematical Logic数理逻辑

数理逻辑是数学结构和系统的正式研究，其子部分包括证明理论和模型理论。 数理逻辑中最重要的数学哲学的发展是哥德尔的证明，任何公理系统足够强大以正式算术将在这个意义上不完全会有真理不属于系统内证明的。

这一结果普遍被认为具有致命的打击，使两希尔伯特和罗素的基础方案，其哲学的重要性，是难以估量。

• H.de Long, A Profile of Mathematical Logic. H.de长期存在，数理逻辑档案。
• J.Bell and M.Machover, A Course in Mathematical Logic. J.贝尔和M.马赫奥弗尔，数理逻辑的一个课程。
• PJCohen, Set Theory and the Continuum Hypothesis. PJCohen，集理论和连续统假设。

3------------Quine奎因

奎因提出的柏拉图主义与形式相结合的数学知识经验主义的观点。 .他还建议对有关数学plaotnism许多讨论indispensibility争论。

• R.Barrett and R.Gibson (eds), Perspectives on Quine.贝瑞特和R.吉布森（编辑），奎因的观点。

4---------Structuralism结构主义

结构主义认为，数学是不是一些抽象对象的特定集合，而是数学是模式的结构科学，特别是只适用对象，只要他们的一些实例化模式或结构数学。

结构主义的各种版本已提出了最重要的是可以在下面找到来源。

体育贝纳塞拉夫，'什么号码不能'在体育Benecerraf和普特南（编辑），在数学哲学读。

• M.Resnik, Mathematics as a Science of Patterns.米雷斯尼克，作为一个科学数学模式。
• S.Shapiro, 'The Structuralist View of Mathematical Objects' in WDHart (ed.), The Philosophy of Mathematics.美国夏皮罗，'结构主义观数学对象'在WDHart（编），数学哲学。
• G.Hellman, Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation.湾赫尔曼，没有数字数学：建立一个模式，结构解释。

5-----------数学的实践，证明和知识

举证的概念及其在数学实践中的作用是近年来增加密切关注的问题。计算机科学的发展，已使得一些以前难以解决的问题必须与计算机处理.由此产生的'计算机证明'的地位是相当大的哲学兴趣。

• T.Tymoczko (ed.), New Directions in the Philosophy of Mathematics.吨铁木志科（编），在数学哲学的新方向。
• I.Lakatos, Proofs and Refutations.拉卡托斯，证明和反驳。
• P.Kitcher, The Nature of Mathematical Knowledge.体育凯切尔，对数学知识的性质。
• M.Steiner, Mathematical Knowledge.施泰纳米，数学知识。
• J.Azzouni, Metaphysical Myths, Mathematical Practice. J. Azzouni，形而上学神话，数学实践。
• P.Mancosu, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century.体育曼科苏，数学和数学实践哲学在17世纪。

6-------------The Infinite无限

由于芝诺悖论及对2的平方根不合理，由古希腊数学家的发现，无限一直是数学中的困惑和争议的来源。 当然，我们学习的孩子，对于任何自然数，我们可以认为总有一个更大的，所以有一种意义上的无限是我们最基本的数学部分。

但是，数学家们一直十分关注实际，而不是潜在的只是在他们的主题是无限的。

在19世纪发展康托尔他，他证明了其中比自然数集存在较大的超限无限集合套理论。

虽然康托尔的理论是与敌对的时间相当欢迎，它已证明是非常有用的，它是一个迫使数学家拼无限现代数学不可缺少的一部分。 然而，有一个从希尔伯特和企图离不开数学实际起无限的布劳威尔的悠久传统。

• R.Rucker, Infinity and the Mind.河立德，无限的心灵。
• AWMoore, The Infinite. AWMoore，无限。